Geometria do Espaço: Análise Geral

Geometria Euclidiana, Hiperbólica e Riemanniano

Euclides estabeleceu as leis que vieram a ser chamadas de “Geometria Euclidiana”, isto é, o estudo das relações entre ângulos e distâncias no espaço. Euclides desenvolveu primeiramente a “geometria plana” que trata da geometria de objectos bidimensionais numa superfície plana.

Considera-se um conjunto de pontos que satisfazem as determinadas relações, expressáveis em termos de distância e de ângulo. Há duas operações fundamentais: primeiro é a rotação.

Um deslocamento do plano de modo que cada ponto desse plano gira em torno de um ponto fixo, de um eixo, através do mesmo ângulo. Em seguida temos a translação que é o movimento que um objecto realiza de um ponto a outro. É o deslocamento paralelo, em linha recta, de um objecto ou figura, em função de um vector.

Um dos princípios básicos da geometria euclidiana é que duas figuras do plano são consideradas equivalentes se uma puder ser transformada na outra por algumas sequências de translações e rotações.

Para se fazer tudo isto matematicamente preciso, deve-se definir claramente as noções de distância, ângulo, translação e rotação. Define-se o plano euclidiano como um espaço real vectorial bidimensional equipado com um produto interno.

A teoria da relatividade geral é uma teoria da gravitação, a qual é encarada como uma distorção do espaço e do tempo que rodeiam um corpo. Neste sentido, a relatividade também é uma teoria geométrica porque o estudo matemático do espaço, seja ele curvo ou plano, pertence ao domínio da geometria.

Desde o início das pesquisas pela sabedoria, pela geometria do espaço, houve três teorias que se destacaram, sendo elas a Teoria do Espaço Euclidiano, a Teoria do Espaço Hiperbólico e a Teoria do Espaço Riemanniano.

No ano de 290 a.C., o filósofo grego Euclides estabeleceu leis que vieram a ser denominadas, conjuntamente, por Geometria Euclidiana. A Geometria Euclidiana é composta pelo estudo das relações entre ângulos e distâncias no espaço.

Euclides desenvolveu inicialmente a teoria da “Geometria Plana”, que se tratou sobre a geometria de objectos bidimensionais numa superfície plana. Todos os seus conhecimentos geométricos estão publicados num livro intitulado “Elementos” (considerado como a pedra angular de todo o conhecimento geométrico até finais do século XIX).

Outras teorias, diferentes da euclidiana foram surgindo em 1823, fazendo com que a teoria inicial começasse a perder a sua posição intangível.

A primeira alternativa à teoria euclidiana surgiu a partir da descoberta de Janos Bolyai, matemático húngaro, que coloborou ao surgir a ideia de que poderia haver geometrias totalmente consistentes mas diferentes da euclidiana.

Na geometria não euclidiana, o conceito de linha recta foi substituído pela ideia mais genérica da geodéstica, isto é, uma linha que percorre a distância mais curta entre dois pontos. Na superfície terrestre, qualquer círculo que passe por ambos os pólos é uma geodéstica. na geometria euclidiana, mais concretamente na geometria das superfícies planas, as geodésticas são linhas rectas.

A teoria de Janos Bolyai é a que hoje denominamos por Teoria do Espaço Hiperbólico ou Teoria Hiperbólica.

A segunda alternativa à geometria Euclidiana surgiu no ano de 1850, descoberta de Ludwig Schlafli, matemático suiço e Bernhard Riemann, matemático alemão. Na nova geometria “riemanniana”, houve uma ampliação das ideias sobre o espaço, conduzindo a grandes diferenças entre o espaço descrito por Euclides. O espaço descrito por Riemann e Schlafli não tem qualquer limite, levando-nos a viajar nele para cima e para baixo, de um lado para o outro, tão longe quanto quisermos, sem nunca alcançarmos uma fronteira e apesar de tudo, num volume finito.

Se um viajante andasse no espaço Riemanniano numa linha recta, sem nenhum desvio, acabaria por regressar ao ponto inicial na direcção oposta àquela que partiram. Einstein defendeu que, para além de matéria, também a luz segue ao longo de um trajecto curvo através do espaço-tempo distorcido pela presença de matéria. Esta previsão de Einstein foi confirmada no ano de 1919, pelos observadores de um eclipse solar.

Duma maneira geral, as pessoas têm uma grande dificuldade em aceitar a ideia do começo do Universo, tentando saber o que havia antes. Na geometria riemanniana da relatividade, é possivel respondermos que o espaço e o tempo não existiam antes do Big Bang e que nada existe para fora do actual Universo em expansão, porque não há um “lado de fora”. Vivemos assim numa hiperesfera tetradimensional.

Concluindo (num círculo):

  • No Espaço Euclidiano, a área de um círculo é proporcional ao quadrado do seu raio, como tal, duplicar o raio do círculo acarreta à quadriplicação da sua àrea.
  • No Espaço Hiperbólico, a área de um círculo é maior que a de um círculo euclidiano com o mesmo raio; quanto maior for o círculo considerado, maior será a disparidade. Em princípio, as observações à escala astronómica podem revelar que a geometria global do Universo é hiperbólica, riemanniana ou euclidiana.
  • No Espaço Riemanniano, um círculo com um raio de uma unidade ocupa uma àrea menor do que no círculo euclidiano.

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